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Ich freue mich jederzeit über Anregungen (zum Beispiel neue Anwendungsbeispiele) dieses Programm betreffend. Ebenfalls dankbar bin ich für Hinweise auf Fehler im Programm oder in diesem Dokument.
Feedback bitte an Matthias Benkmann (m.s.b (a) gmx.net)
Außerdem freut es mich natürlich, wenn dieses Programm weitergegeben wird. Es ist kostenlose Software (Freeware), absolut kostenlos.

Dieses HTML-Dokument ist das offizielle Handbuch zum Molekular-Dynamik-Simulator (MDS). Es ist im Download des Programms außerdem noch als unformatierter ASCII-Abzug dieser Seite enthalten.

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Programmbedienung

Anwendungsbeispiele

Einführung

Wir alle haben eine intuitive Vorstellung von Begriffen wie "warm" oder "kalt". Ebenso wissen wir, was wir uns unter einer Flüssigkeit vorzustellen haben. Doch wenn man genauer nachfragt, was diese Begriffe auf mikroskopischer Ebene bedeuten, werden viele Menschen keine Antwort darauf wissen. Andererseits gibt es jedoch Phänomene, die man sich sehr gut veranschaulichen kann, wie zum Beispiel die um die Sonne kreisenden Planeten. Man muß nur einen Globus in die Mitte des Zimmers stellen und mit einer Murmel in der Hand um ihn herumgehen. Die Kepler-Gesetze wird man sich so freilich schwer vor Augen führen können.
Manchmal ist es mit schulischen Mitteln unmöglich, Experimente vorzuführen, um dem Lernenden einen Sachverhalt näher zu bringen. Die Möglichkeiten des Lehrers erschöpfen sich oft in statischen Bildern. Ein Beispiel hierfür ist die modellhafte Erklärung der Aggregatszustände anhand von dicht und weniger dicht gepackten Kugeln. Und auch wenn ein Film zur Verfügung steht, so hat dieser doch das große Manko der fehlenden Interaktivität.

Bei all diesen Problemen kann der Computer dem Lehrer hilfreich zur Seite stehen. Daher wird er mit Sicherheit eines der wichtigsten Mittel des zukünftigen Unterrichts sein. Computerprogramme können zwar das Realexperiment nicht ersetzen, bieten aber die Möglichkeit, Sachverhalte zu simulieren, die sich dem wirklichen Versuch ganz oder teilweise entziehen. Zudem ergibt sich die Möglichkeit, aktiv in das Bildschirmgeschehen einzugreifen und sogar Unmögliches, zum Beispiel umgekehrte Gravitation, auszuprobieren.

Kurzbeschreibung des Programms

Das Programm "Molekular-Dynamik-Simulator" (MDS) wurde entwickelt, um die Vorgänge in einem Vielteilchensystem zu simulieren. Selbstverständlich ist es auch möglich, und je nach Zusammenhang auch sinnvoll, sich auf einige wenige Teilchen zu beschränken. Bei der Gestaltung des Programms wurde darauf geachtet, ein ansprechendes und farbenfrohes Äußeres mit maximalem Bedienkomfort zu verbinden, ohne jedoch Abstriche bei der dahinterstehenden Physik zu machen.

Systemanforderungen

Das Programm erfordert einen IBM-kompatiblen PC. Eine CPU des Typs i80386 (oder kompatibel) ist mindestens erforderlich, ebenso ein i80387 kompatibler Koprozessor. Eine 100% zum IBM Video Graphics Array (VGA) kompatible Grafikkarte mit Farbmonitor ist außerdem notwendig. Das Programm ist lauffähig unter DOS ab Version 3.0 und in Vollbild DOS-Sitzungen unter allen Betriebssystemen, die mindestens 502000 Byte freien konventionellen Speicher bieten und dem Programm direkte Zugriffe auf die Register der Grafikkarte sowie des PIT (Programmable Interval Timer) gestatten. Zu beachten ist dabei, daß je nach Betriebssystem und Grafikkartentreiber der vom Programm verwendete 360x480 "tweaked" Modus nach einer Taskumschaltung evtl. nicht wieder restauriert werden kann. Obwohl außerordentlich unwahrscheinlich und bis dato nicht beobachtet, ist eine Beschädigung durch falsche Synchronisation bei älteren Monitoren nicht auszuschließen. Daher sollte während der Arbeit mit dem Molekulardynamik-Simulator (MDS) nicht zwischen mehreren Applikationen umgeschaltet und vor Programmstart der Bildschirmschoner deaktiviert werden. Im Ernstfall sollte der Molekulardynamik-Simulator sofort mit der Tastenkombination ALT-X (evtl. zweimal, falls die Simulation gerade läuft) verlassen werden.

DER PROGRAMMIERER WEIST DARAUF HIN, DASS ES SICH BEI DIESEM PROBLEM UM EINEN FEHLER IN DER ENTSPRECHENDEN BETRIEBSSYSTEM-SOFTWARE UND NICHT IN MDS HANDELT. BEI BEACHTUNG DER OBEN GENANNTEN MASSNAHMEN ODER BENUTZUNG UNTER DOS SIND KEINE SCHÄDEN ZU BEFÜRCHTEN.

AUCH IM FALLE VON DURCH DEN PROGRAMMIERER VERSCHULDETEN FEHLERN ÜBERNIMMT DIESER KEINERLEI HAFTUNG IRGENDEINER ART. DIES GILT INSBESONDERE FÜR, IST ABER NICHT BESCHRÄNKT AUF DIREKTE ODER INDIREKTE SCHÄDEN IN ZUSAMMENHANG MIT DIESER SOFTWARE. DER BENUTZER MUSS VOR JEDEM AUSFÜHREN DER SOFTWARE SICHERSTELLEN, DASS DIESE REGELUNG IN DEM GEBIET, UNTER DESSEN GERICHTSBARKEIT ER FÄLLT, LEGAL IST. IST DIES NICHT ODER NUR TEILWEISE DER FALL, SO UNTERSAGT DER PROGRAMMIERER JEDWEDES AUSFÜHREN DER SOFTWARE.
(BEACHTEN SIE DIE VOLLSTÄNDIGEN BENUTZUNGSBESTIMMUNGEN IN DER DATEI LIESMICH.TXT BEVOR SIE DAS PROGRAMM AUSFÜHREN.)

Das Programm testet zu Beginn, ob das System die Mindestvoraussetzungen erfüllt und bricht mit einer Fehlermeldung ab, falls dies nicht der Fall ist. Es ist jedoch möglich, daß Ihre VGA-Karte nicht 100% IBM kompatibel ist, und das Programm trotzdem startet. In diesem Fall wird die Bildschirmausgabe verstümmelt sein. Sie können das Programm jedoch mit der Tastenkombination ALT-X verlassen.

Funktionsweise des Programms

Die Bewegung der Teilchen wird schrittweise simuliert. In jedem Schritt werden die, durch die Wechselwirkungspotentiale hervorgerufenen Kräfte auf die Teilchen berechnet und summiert. Aus diesen Kräften wird dann mit den Gleichungen F=ma, v=v₀+a*Dt, x=x₀+v*Dt der neue Ort und die neue Geschwindigkeit für jedes Teilchen berechnet. Der zugrunde gelegte Zeitschritt Dt ist vom Benutzer einstellbar.

Hinweis zu den Anzeigen

Den Werten im Programm sind die entsprechenden SI-Einheiten zugrunde gelegt.
Die Winkel zwischen den Geschwindigkeitskomponenten, werden in Grad angegeben, was im Eigenschaften-Menü noch gesondert mit [°] gekennzeichnet ist.
In den Anzeigen bedeuten +INF und -INF (INFinite=unendlich), daß bei dem gewählten Aufbau entweder der entsprechende Wert außerhalb des Anzeigebereichs liegt, oder daß eine Division durch Null stattgefunden hat. Letzteres tritt für gewöhnlich auf, wenn der Benutzer aus Versehen zwei Teilchen auf exakt die selbe Raumposition setzt und damit ihr Abstand 0 beträgt, so daß bei der Berechnung des Potentials durch 0 dividiert wird.
+NAN und -NAN (Not A Number= keine Zahl) treten für gewöhnlich auf, wenn (ebenfalls aufgrund eines fehlerhaften Aufbaus) in einer Formel eine Rechenoperation auftritt, die nicht definiert und außerdem nicht mit einer Unendlichkeit zu beantworten ist (z.B. Wurzel einer negativen Zahl).
Das Programm ist jedoch so gutmütig, daß es sowohl das auftreten einer Unendlichkeit, als auch einer NAN, nicht mit einer Fehlermeldung oder gar einem Absturz bestraft. Es steht deshalb dem hemmungslosen Herumspielen mit den Einstellungen nichts im Wege.

Unterstützte Wechselwirkungspotentiale

Für die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen stehen zur Simulation im Molekular-Dynamik-Simulator die unten in der Tabelle aufgeführten Potentiale zur Verfügung. Des weiteren besteht die Möglichkeit, die Teilchen über harte Stöße wechselwirken zu lassen.

Epot _ij ist die potentielle Energie des Teilchenpaares ij. Negative Werte bedeuten, daß sich die Teilchen gegenseitig anziehen.
F_ij ist die Kraft, die die Teilchen i und j aufeinander ausüben. Positive Werte bedeuten Anziehung.
r₀ ist der Abstand zwischen zwei Teilchen bei dem gilt F_ij=0.
e,s sind von der Teilchenart abhängige Konstanten.
G ist die Gravitationskonstante.
q_i,q_j ist die Ladung des Teilchens i bzw. j .
e₀ ist die elektrische Feldkonstante

Programmbedienung

Bildschirmaufteilung

Dieses Bild zeigt alle Fenster des Programmes. Alle, bis auf das Hauptmenü, lassen sich unabhängig voneinander ein- und ausschalten.

Beschreibung der Fenster

Hauptmenü: Hier befinden sich die Untermenüs "File","Display","Experiment" und "Others", sowie der Knopf zum Umschalten zwischen View-Modus und Edit-Modus und der Knopf zum Starten/Anhalten der Simulation. Links-Click öffnet die Menüs bzw. aktiviert die Knöpfe.
Schrittzähler: Zählt die bis jetzt errechneten Schritte des momentan laufenden Experiments
r-N-Diagramm: Zu jedem Abstand r ist hier die Anzahl Nachbarteilchen eingetragen, die man in diesem Abstand von einem Teilchen durchschnittlich findet. Die momentanen Werte sind durch grüne Striche, die gemittelten Werte durch weiße Punkte dargestellt.
Die Einheit der horizontalen Achse ist 360/scale Meter abgerundet auf die nächste 10er-Potenz (scale ist der im Menü Display/Diagrams bei scale angegebene Wert.). Die Einheit der vertikalen Achse ist 1.
Die erste gelbe Zahl gibt die durchschnittliche Anzahl nächster Nachbarn (Teilchen deren Abstand kleiner ist, als der unter Display/Diagrams/next sum r angegebene Wert) eines Teilchens an. Die zweite gelbe Zahl zeigt die durchschnittliche Entfernung eines nächsten Nachbarn an. Die rote Linie befindet sich bei der Entfernung Display/Diagrams/next sum r.
v-N-Diagramm: Zu jeder Geschwindigkeit v ist die Anzahl Teilchen mit dieser Geschwindigkeit eingetragen. Die Werte der aktuellen Simulation sind durch grüne Striche, die gemittelten Werte durch weiße Punkte dargestellt.
Die Einheit der horizontalen Achse ist 360/scale Meter pro Sekunde abgerundet auf die nächste 10er-Potenz (scale ist der im Menü Display/Diagrams bei scale angegebene Wert.). Die Einheit der vertikalen Achse ist 1.
verschiedene Werte: Dieses Fenster zeigt die Werte für Druck (p), Temperatur (T), Volumen(V) und die durchschnittliche kinetische Energie pro Teilchen (Ek) , sowie die durchschnittliche potentielle Energie pro Teilchen (Ep) an. Über den current/mean Knopf läßt sich die Anzeige zwischen Momentan- und Mittelwerten umschalten. Für Ek und T lassen sich neue Werte eingeben, die sofort aktiv werden. Für das Volumen läßt sich ein Zielvolumen eingeben, das während der Simulation durch verschieben der Wände in Schritten zu je ½Ds angesteuert wird (½Ds läßt sich über Experiment/Parameters/  ½Ds einstellen).
Achtung: Die Eingabe eines Zielvolumens deaktiviert die Druckanpassung.
frei drehbare 3D-Darstellung: Dieses Fenster zeigt das Teilchenensemble um die x-,y- und z-Achse gedreht in Zentralperspektive. Die Drehreihenfolge ist z-Drehung, x-Drehung, y-Drehung. Bei Links-Click auf ein Teilchen in diesem Fenster öffnet sich das Eigenschaften-Menü, in dem die Eigenschaften des angeclickten Teilchens dargestellt sind und verändert werden können..
x,y,z-Achsen: Dieses Fenster zeigt die x-,y- und z-Achse den momentanen Drehwinkeln entsprechend rotiert (Parallelprojektion). Bei Links-Click in dieses Fenster des Molekulardynamik-Simulator können bei gedrückt gehaltener Maustaste die Achsen gedreht werden. An der Unterkante des Fensters sind die Drehwinkel angegeben. Bei Links-Click auf eine der Ziffern wird diese mit Übertrag um eins erhöht, bei Rechts-Click um eins erniedrigt. Wird die Maustaste gedrückt gehalten, so wird nach einer kleinen Verzögerung kontinuierlich gedreht.
Seitenansicht-Fenster: Diese Fenster zeigen die entsprechenden Seiten des Ensembles (Parallelprojektion).
Die schwarzen Rechtecke stellen die Begrenzungslinien des Volumens, in dem die Teilchen gefangen sind, dar. Ihre Anzeige kann mit Display/Smiley Windows/draw borders ein- bzw. ausgeschaltet werden.
Die weißen Linien, die mit der Maus bei gedrückter linker Taste verschoben werden können, bestimmen die momentanen Sichtebenen. Nur Teilchen, die sich zwischen den weißen Linien befinden, werden dargestellt. Alle anderen Teilchen sind (auch im 3D-Fenster) unsichtbar. Man kann die Sichtebenen mit Display/Smiley windows/Reset view levels auf einmal auf die maximalen Grenzen zurücksetzen.
Ein Links-Click auf ein Teilchen in den Seitenansicht-Fenstern oder im 3D-Fenster öffnet das Fenster mit den Teilcheneigenschaften.

In der frei drehbaren 3D-Darstellung und in den Seitenansicht-Fenstern kann mit den Pfeiltasten der Fensterinhalt verschoben werden. Die Knöpfe + und - an der Oberkante der Fenster ermöglichen es, den dargestellten Ausschnitt näher heran oder weiter weg zu zoomen. Die Pfeile an den Rändern der Teilchen- und Diagramm-Fenster ermöglichen es, die Fenstergrößen anzupassen, indem man sie mit der linken Maustaste anclickt und bei gedrückter Taste die Maus zieht.
Der mit "Z" markierte Knopf in der oberen rechten Ecke der Fenster zoomt das entsprechende Fenster auf maximale Größe. Ein weiterer Click stellt den Ausgangszustand wieder her.
Wird mit der rechten Maustaste in ein Fenster geclickt, und die Maus bei gedrückter Taste in ein anderes Fenster gezogen wird, so werden die beiden Fenster vertauscht.

Menüstruktur

Bedeutung der Menüpunkte

MAIN MENU
-->edit/view schaltet in den angegebenen Modus. (siehe "Der Edit-Modus")
start startet die Simulation, sofern der Schrittzähler nicht Experiment/Parameters/Max. steps bereits erreicht hat.

FILE
Load öffnet das Dateiauswahlfenster zum Laden einer .MDS Datei.
Save öffnet das Dateiauswahlfenster zum Speichern einer .MDS Datei.
Grab PCX öffnet das Dateiauswahlfenster zum Speichern eines Screenshots als .PCX Datei.
Quit beendet das Programm.

DISPLAY
invisibles schaltet die Anzeige als unsichtbar markierter Teilchen ein bzw. aus.
slicing siehe Display/Smiley Windows/Slicing.
D-Scheme ändert die Anordnung der Fenster.
Step counter schaltet die Anzeige des Schrittzählers ein bzw. aus.

DIAGRAMS
r-distribution schaltet die Anzeige des r-N-Diagrammes ein bzw. aus.
after steps gibt an, nach wievielen Schritten das Diagramm neu berechnet wird und die Werte zu den Mittelwerten addiert werden.
scale ist ein Faktor zur Umrechnung der Fließkommawerte in ganze Zahlen vor Eintragung ins Diagramm. Scale ist indirekt proportional zur Einheit der horizontalen Achse.
offset gibt an, um wieviel das Diagramm nach links geschoben werden soll.
devalue after gibt an, nach wievielen Diagrammaktualisierungen der Inhalt des Puffers für die Diagrammittelwerte halbiert werden soll. Diese Funktion sorgt dafür, daß auch nach einer großen Anzahl von Schritten die Diagrammittelwerte noch auf Veränderungen reagieren. Wird hier 0 angegeben ist die Funktion deaktiviert.
next sum r gibt an, bis zu welcher Entfernung ein Teilchen als nächster Nachbar gezählt wird.
v-distribution schaltet die Anzeige des v-N-Diagrammes ein bzw. aus.
Reset mean values startet die Mittelwertberechnung der Diagramme neu.

MISCELLANEOUS
Miscellaneous schaltet die Anzeige der Werte für p,V,T,Ek und Ep ein bzw. aus.
after steps gibt an, nach wievielen Schritten die Werte neu berechnet werden.
mean buf size gibt an, über wieviele der nach after steps Schritten erfolgten Berechnungen der Werte gemittelt werden soll. Wird hier 0 angegeben, so erfolgt die Mittelung über alle seit dem letzten Reset der Mittelwerte berechneten Werte.
Reset mean values startet die Mittelwertberechnung neu.

SMILEY WINDOWS
Rotatable 3D schaltet die Anzeige des frei drehbaren 3D-Fensters ein bzw. aus.
x,y,z axes schaltet die Anzeige des x,y,z-Achsen-Fensters ein bzw. aus.
slice start bestimmt, wie weit, die im 3D-Fenster dargestellte Schicht vom Betrachter weg ist (gemessen in Pixeln).
thickness bestimmt, wie dick die im 3D-Fenster dargestellte Schicht ist (gemessen in Pixeln).
slicing sorgt dafür, daß im 3D-Fenster nur Teilchen dargestellt werden, die in der durch slice start und thickness bestimmten Schicht liegen. Dies ist sehr nützlich, wenn zum Beispiel bei einem FCC-Gitter die hexagonale Grundstruktur betrachtet werden soll. Man definiert hierfür eine Schicht mit slice start und thickness und dreht dann die 3D-Darstellung, bis die Struktur zu erkennnen ist.
x-y side view, x-z side view, z-y side view schaltet die Anzeige des entsprechenden Fensters ein bzw. aus.
after steps gibt an, nach wievielen Schritten das 3D-Fenster und die Seitenansichten aktualisiert werden.
slime tracks läßt die Teilchen eine Spur hinter sich herziehen.
draw borders schaltet die Anzeige der Volumengrenzen ein bzw. aus.
smiley size bestimmt die Größe der Teilchen in den Fenstern, falls r-scaling deaktiviert.
z-scaling schaltet die Skalierung der Teilchengröße in Abhängigkeit von der Entfernung zum Betrachter auch für die Seitenansichten ein (in der 3D-Darstellung wird immer z-skaliert).
r-scaling schaltet die Skalierung der Teilchengröße in Abhängigkeit vom Radius ein bzw. aus.
Reset view levels setzt die Sichtebenenbegrenzungen auf die Maximalwerte.
v-vectors schaltet die Anzeige der Geschwindigkeitsvektoren ein bzw. aus.
scale bestimmt den Faktor mit dem die Längen der Geschwindigkeitsvektoren vor ihrer Einzeichnung multipliziert werden.

EXPERIMENT
Description zeigt die Beschreibung des momentanen Experiments an und ermöglicht ihre Veränderung.
Reset step counter setzt den Schrittzähler auf 0 und definiert damit den Beginn eines neuen Experiments, d.h. Restart experiment stellt jetzt den zum Zeitpunkt des Reset bestehenden Aufbau wieder her.
Restart experiment stellt den Startaufbau des momentanen Experiments wieder her. Ein neues Experiment beginnt bei einem Reset step counter, load (mit properties aktiviert) oder Experiment/Build lattice/build lattice.

POTENTIAL TYPE
Lennard Jones, Quadratic, Gravity, Coulomb wählt das entsprechende Potential für die Molekular-Dynamik-Simulation aus. Mehrere Potentiale können gleichzeitig aktiviert sein.
s,e,e₀,r₀,G sind die potentialspezifischen Konstanten. Näheres zu den Potentialen siehe oben bei "Unterstützte Wechselwirkungspotentiale".
cutoff gibt den Abstand zweier Teilchen an, ab dem die Wechselwirkungen des entsprechenden Potentials ignoriert werden. Ein Cutoff kann benutzt werden, um Rechenzeit zu sparen. Achtung: Wenn das quadratische Potential als Näherung für das Lennard Jones Potential benutzt werden soll, muß Cutoff<=7r₀/6 gelten.

PARAMETERS
Dt bestimmt den der Simulation zugrunde liegenden Zeitschritt.
collision check schaltet harte Stöße bei Berührung zweier Teilchen ein bzw. aus. Achtung: Kollisionen werden mit dem Teilchenradius berechnet, der im Eigenschaften-Menü eingestellt ist, nicht mit dem Radius in den Darstellungen.
downwards gravity schaltet für alle Teilchen konstante Beschleunigung in negative y-Richtung ein bzw. aus.
g ist die Beschleunigung für downwards gravity.
p schaltet Volumenanpassung zum Druckausgleich ein bzw. aus.
Achtung: Wird Druckausgleich aktiviert, wird ein zuvor im Verschiedene-Werte-Fenster eingegebenes Zielvolumen unwirksam. Ebenso deaktiviert die Eingabe eines Zielvolumens die Druckanpassung.
target gibt den Zieldruck an, den die Volumenanpassung zu erreichen sucht.
V-adapt Dsteps gibt an, in welchem zeitlichen Abstand die Volumenanpassungen durchgeführt werden sollen.
½ Ds gibt an, um wieviel jede der 6 Wände bei der Volumenanpassung verschoben wird.
c ist die Temperatur, die die Temperaturanpassung in den nächsten Schritten zu erreichen versucht.
f gibt, falls exponentielle Erwärmung/Abkühlung gewählt ist, den Faktor an, mit dem c nach jeder Temperaturanpassung multipliziert wird.
DT ist bei linearer Erwärmung/Kühlung der Wert, der nach jeder Temperaturanpassung zu c hinzugezählt wird.
Dsteps gibt an, in welchem zeitlichen Abstand die Temperaturanpassungen vorgenommen werden.
Max. steps gibt an, nach wievielen Schritten die Simulation beendet werden soll. Achtung: Hat der Schrittzähler diesen Wert einmal erreicht, so läßt sich die Simulation erst wieder starten, wenn entweder der Schrittzähler auf 0 gesetzt wird (Experiment/Reset step counter oder Experiment/Restart experiment), oder Max. steps erhöht wird.

TEMPERATURE ADAPTION FUNCTIONS
free schaltet die Temperaturanpassung aus.
T=c, c=const. stellt die Temperaturanpassung so ein, daß sie versucht, T konstant auf c zu halten.
T=c, c=c+ DT stellt die Temperaturanpassung so ein, daß sie den angestrebten Wert c in Schritten zu DT verändert. Dies entspricht einer linearen Erwärmung/Abkühlung.
T=c, c=c*f stellt die Temperaturanpassung so ein, daß sie den angestrebten Wert c nach jeder Anpassung mit dem Faktor f multipliziert. Dies entspricht einer exponentiellen Erwärmung/Abkühlung.

BOUNDARIES
Im blauen Fenster wird der virtuelle Kasten, in dem sich die Teilchen befinden von vorne und von der rechten Seite durch schwarze Rechtecke dargestellt. Die grünen Rechtecke geben das momentan von Teilchen ausgefüllte Volumen wieder. Mit gedrückter linker Maustaste läßt sich das Ensemble innerhalb des Kastens verschieben. Werden dabei Teilchen nach außerhalb des Kastens verschoben, so erscheint an der entsprechenden Seite ein roter Strich, um zu warnen, daß bei Bestätigung der Verschiebung mit Set new boundaries Teilchen gelöscht werden.
Achtung: Aufgrund einer geringen Toleranz ist es möglich, daß trotz der Anzeige des roten Striches keine Teilchen gelöscht werden.
Periodic boundary schaltet die Rechnung mit periodischen Randbedingungen ein bzw. aus. Änderungen hier wirken sich bei Start der Simulation sofort aus, ohne daß zuerst Set new boundaries gewählt werden muß.
x,y,z gibt die momentane Länge der entsprechenden Seite des Kastens an. Änderungen hier werden zwar sofort im blauen Fenster dargestellt, werden aber erst nach Click auf Set new boundaries aktiv. Vorher werden auch noch keine Teilchen außerhalb des Kastens entfernt.
Set new boundaries setzt die veränderten Seitenlängen und die im blauen Fenster ausgeführten Verschiebungen. Teilchen außerhalb des Kastens werden gelöscht.

Periodische Randbedingungen

Die Teilchenzahl ist im Molekular-Dynamik-Simulationsprogramm im Vergleich zur Realität sehr gering. Wenn man einen Festkörper mit dem Molekulardynamik-Simulator (MDS) simuliert, ist daher der Anteil von Randteilchen am Gesamtkörper sehr hoch. Dies sind Teilchen, die weniger nächste Nachbarn als jene im Inneren des Körpers haben. Darum werden sie weniger stark an ihrem Platz gehalten, was dazu führen kann, daß sie sich vom Körper lösen. Außerdem ergibt sich nicht die, für jeden Gittertyp charakteristische Anzahl nächster Nachbarn. Mit Hilfe des "Rechentricks" periodische Randbedingungen kann man diese Probleme beseitigen. Dabei wird bei der Berechnung so getan, als wären an den eigentlich berechneten Kasten(stark umrandet) noch weitere identische Kästen angeschlossen. Für die Berechnung der Kräfte, die auf ein Teilchen 1 wirken, werden dann die Nachbarteilchen aus einem virtuellen Kasten (grün umrandet) herangezogen, in dessen Mitte Teilchen 1 steht. So "sieht" das Teilchen 1 aus dem Beispiel nur die Teilchen 2,4 und 5 an ihrem wirklichen Ort. Die Teilchen 3,6,7,8 und 9 erscheinen ihm als virtuelle Teilchen 3,6,7,8 und 9. Man erkennt sofort, daß ein nahtloser Übergang zwischen den Kästen nur gegeben ist, falls das Volumen und die Teilchenaufstellung, wie hier im Bild, korrekt gewählt wird. Wenn Experiment/Boundaries/periodic boundary aktiv ist, achtet Experiment/Build lattice/build lattice beim Aufbau auf eine nahtlose Fortsetzung des entsprechenden Gittertyps. Falls sich jedoch im Verlaufe der Simulation der Gittertyp ändert, muß manuell dafür gesorgt werden, daß das Volumen für eine periodische Fortsetzung des entsprechenden Gittertyps paßt (z.B. Im verschiedene-Werte-Fenster ein Zielvolumen angeben).
Neben oben genanntem Rechentrick bewirkt das Rechnen mit periodischen Randbedingungen auch, daß Teilchen, die eine Seite des Kastens erreichen, nicht reflektiert, sondern auf der anderen Seite wieder in den Kasten hineingesetzt werden.

BUILD LATTICE
x,y,z-direction cell no. gibt die Länge der entsprechenden Seite, des zu erzeugenden Gitters, in Elementarzellen an.
Unit cell side gibt die Seitenlänge einer kubischen Elementarzelle an.
Velocity/p. gibt die beim Aufbau jedem Teilchen zugeordnete Geschwindigkeit an. Die Geschwindigkeitsrichtungen werden so verteilt, daß der Gesamtimpuls 0 ist. Ein Drehimpuls kann jedoch vorhanden sein. Ist die sich ergebende Teilchenzahl ungerade, erhält ein Teilchen die Geschwindigkeit 0.
Lattice type gibt die Art des aufzubauenden Gitters an. Zur Auswahl stehen einfach kubisch (simple cubic), kubisch flächenzentriert (face-centered cubic) und kubisch raumzentriert (body-centered cubic).
Lattice error gibt an, ob das Teilchen Nr. 0 eine 1prozentige Abweichung von der richtigen Startposition erhält, um unrealistische Symmetrieerscheinungen zu vermeiden.
Build lattice baut das Gitter auf und definiert damit den Beginn eines neuen Experiments (siehe Experiment/Restart experiment). Falls Experiment/Boundaries/periodic boundary aktiviert ist, wird das Gitter so aufgebaut, daß es an den Grenzen des Kastens nahtlos periodisch fortgesetzt werden kann.

OTHERS
Watchdogs gibt an, ob die Wachhunde frei sind. Wenn ja, werden Teilchen außerhalb des Kastens totgebissen und die Meldung "Woof!" ausgegeben. Falls Teilchen die eingestellte Maximalgeschwindigkeit überschreiten, wird dies mit "Arf!" kundgetan. In letzterem Fall werden die Teilchen am Leben gelassen.
Achtung: Während ein Überschreiten der Maximalgeschwindigkeit im Verlaufe eines Experiments durchaus passieren kann, ist ein Verlassen des Kastens durch ein Teilchen unter normalen Umständen ausgeschlossen, da Teilchen an der Wand reflektiert (Experiment/Boundaries/periodic boundary deaktiviert) oder an der anderen Seite wieder hineingesetzt (periodic boundary aktiviert) werden. Wenn dennoch ein Teilchen den Kasten verläßt, deutet dies auf einen Aufbau mit zu hohen Kräften oder Geschwindigkeiten bzw. einen für die Kräfte/Geschwindigkeiten zu großen Zeitschritt hin. (siehe auch Hinweis zu den Anzeigen)
vmax gibt die von den Wachhunden maximal tolerierte Geschwindigkeit an.
Current Smileys spiegelt die Gesamtanzahl der Teilchen des Ensembles wieder.
Recalculate diagrams/misc. berechnet die Diagramminhalte und p,T,Ek,Ep neu. Diese Funktion ist nützlich, wenn man den Aufbau verändert hat, und anhand der potentiellen Energie feststellen will, ob man eine Konstellation mit übermäßig großen Kräften erzeugt hat.

DAS EIGENSCHAFTEN MENÜ
Das Eigenschaften-Menü wird bei Links-Click auf ein Teilchen geöffnet. Die folgenden Eigenschaften des Teilchens werden angezeigt und können geändert werden:
Farbe, Gruppenstatus, Unsichtbarkeitsstatus, Masse(m), Ladung(q), Radius(r), x,y und z-Koordinate, Geschwindigkeitsbetrag(v), Winkel zwischen x-Komponente(vx) und y-Komponente(vy) des Geschwindigkeitsvektors, Winkel zwischen vx und vz, Winkel zwischen vz und vy.
Über den Gruppenstatus ist es möglich eine Gruppe von Teilchen zu definieren. Dies ist sinnvoll, wenn man mehrere Teilchen auf einen Schlag verändern will (siehe Beispiel).
Man kann so, über die Option !DELETE GROUP!, alle Teilchen der Gruppe (d.h.alle mit grouped: yes) auf einmal löschen, oder, über die Option Group....=Smiley.... allen Teilchen der Gruppe den Wert .... des momentan angezeigten Teilchens zuordnen (siehe Beispiel).
Mit Invert group wird die Gruppenzuordnung umgekehrt, d.h. alle Teilchen, die zur Gruppe gehörten, gehören jetzt nicht mehr dazu, und alle die vorher nicht bei der Gruppe waren, bilden jetzt die Gruppe (siehe Beispiel).
Ungroup all setzt jedes Teilchen auf grouped: no. Zusammen mit Invert group läßt sich so leicht das ganze Ensemble verändern (siehe Beispiel).
Beispiel: Alle Teilchen sollen auf die Masse 1kg gesetzt werden. Man setzt zuerst, das momentan angezeigte Teilchen auf die Masse 1 (wie bereits erwähnt erfolgen alle Eingaben und Anzeigen in den entsprechenden SI-Einheiten). Dann click man auf Ungroup all, so daß kein Teilchen mehr zur Gruppe gehört. Mit Invert group wird nun die Gruppenzugehörigkeit aller Teilchen umgekehrt, d.h. jetzt gehören alle Teilchen zur Gruppe. Mit Group m=Smiley m wird nun allen Teilchen auf einmal die Masse 1kg zugeordnet.
Group smileys on screen setzt bei allen Teilchen, die momentan auf dem Bildschirm zu sehen sind, grouped: yes. Dies ist zum Beispiel sinnvoll, wenn man sich mit Display/slicing in der frei drehbaren 3D-Darstellung eine Schicht eines Kristalls herausgesucht hat, und nun alle Teilchen dieser Schicht mit der gleichen Farbe einfärben will, um sie besser verfolgen zu können.
Achtung: Wenn nur die Teilchen, die in der frei drehbaren 3D-Darstellung zu sehen sind auf grouped: yes gesetzt werden sollen, müssen vorher entweder die Seitenansichten geschlossen, oder die frei drehbare 3D-Darstellung gezoomt werden, denn Group smileys on screen betrifft ALLE momentan sichtbaren Teilchen, nicht nur die eines bestimmten Fensters.
Group follows smiley gibt an, ob bei Verschieben eines Teilchens der Gruppe (siehe "Der Edit-Modus"), die ganze Gruppe mitverschoben werden soll.
Achtung: Nur bei Verschiebung mit der Maus wird die Gruppe mitverschoben. Bei direkter Änderung der x,y oder z-Koordinate, wird nur das Teilchen verschoben.
Copy smiley erzeugt eine weiteres Teilchen an der selben Position, wie das momentan angezeigte, mit den selben Eigenschaften. Diese Option wird benutzt, um dem Ensemble neue Teilchen hinzuzufügen.
Achtung: Da das Teilchen auf exakt der selben Position wie die Vorlage erzeugt wird, muß es unbedingt vor Beginn der Simulation an einen anderen Platz gesetzt werden, da sonst das abstandsabhängige Potential zwischen Vorlage und Kopie unendlich groß wird, und bei Starten der Simulation das ganze Ensemble ins Unendliche verschwindet.
!DELETE SMILEY! tut genau das was man erwartet.

Der Edit-Modus

Während es im View-Modus nur möglich ist, die Position eines Teilchens über das Eigenschaften-Menü zu verändern, kann man nach Umschalten in den Edit-Modus in den Seitenansicht-Fenstern ein Teilchen mit gedrückt gehaltener linker Maustaste verschieben. Falls das Teilchen der Gruppe angehört, und die Option Group follows smiley angeschaltet ist, wird die Gruppe mit verschoben.
Im Edit-Modus ist es außerdem möglich, durch einen Rechts-Click auf ein Teilchen, die zuletzt an irgendeinem Teilchen durchgeführte Eigenschaftsveränderung auf das angeclickte Teilchen zu übertragen. Es genüg so zum Beispiel, ein Teilchen im Eigenschaften-Menü grün zu färben, dann kann man durch einfachen Rechts-Click andere Teilchen grün färben.
Achtung: Löschen zählt ebenfalls als Eigenschaftsveränderung, so daß, nachdem ein Teilchen gelöscht wurde, ein Rechts-Click das angeclickte Teilchen entfernt. Der Edit-Modus ermöglicht auch, sehr einfach neue Teilchen zu plazieren. Man muß nicht jedes Teilchen einzeln mit Copy Smiley erzeugen und dann an den richtigen Platz ziehen. Nachdem man ein Teilchen mit Copy Smiley verdoppelt hat, kann man in den Seitenansicht-Fenstern mit der rechten Maustaste neue Teilchen setzen. Die dritte Koordinate wird jeweils vom zuletzt kopierten Teilchen übernommen.
Achtung: Es empfielt sich, nach Ändern des Ensembles Experiment/Reset step counter zu wählen, oder das neue Ensemble abzuspeichern. Dann kann man mit Experiment/Restart experiment bzw. File/Load den Aufbau wiederherstellen, nachdem das Experiment abgelaufen ist. Ansonsten ist der geänderte Aufbau verloren.

Anwendungsbeispiele

Achtung: Wenn bei den folgenden Beispielen bestimmte Schrittzahlen, Drehwinkel oder Slicing-Parameter angegeben sind, wird davon ausgegangen, daß das Experiment bis zur entsprechenden Schrittzahl ohne Unterbrechung durchgerechnet wird. Falls dies nicht getan wird, und im Beispiel die Volumen-, Temperatur- oder Druckanpassungsfunktion benutzt wird, kann es zu leicht unterschiedlichen Ergebnissen kommen. Die beobachteten Strukturen und Werte werden nur im Mittel übereinstimmen. Dies erklärt sich dadurch, daß sich Iterationen selbst einfacher Funktionen nach vielen Schritten hochgradig chaotisch verhalten. Es kann sich insbesondere die Lage gesuchter Strukturen bezüglich des Betrachters verändern. Außerdem kann der exakte Wert einer Größe zu einem bestimmten Zeitschritt oder die Zahl der Zeitschritte bis zum Eintreten eines bestimmten Ereignisses leicht variieren.

1) Startbeispiel: Ausschnitt aus einem kristallinen Festkörper

Zielsetzung: Ziel dieses Versuchs ist die Demonstration einer für quadratisches und Lennard Jones Potential charakteristischen Struktur.

Aufbau: Die Ausgangslage ist ein kubisch flächenzentriertes Gitter bestehend aus 108 Teilchen. Als Gitterkonstante wurde 5.378Å gewählt, so daß der Abstand nächster Nachbarn bei r₀ bezüglich s=3.4Å liegt. Die Startgeschwindigkeit ist 13.685m/s, d.h. die Temperatur beträgt 0.3K. Das standarmäßig gewählte Potential ist Lennard Jones mit einem Cutoff von 1m (d.h. länger als die Kastendiagonale, also deaktiviert). Periodische Randbedingungen sind aktiviert.

Durchführung und Beobachtungen: Nach Start der Simulation bleibt, wie zu erwarten war, die Konfiguration stabil. Das r-N-Diagramm zeigt deutliche Strukturen einer Nah- und Fernordnung. Hier wird außerdem als Anzahl der nächsten Nachbarn die für ein fcc-Gitter charakteristische Zahl 12 angezeigt. Lediglich die Geschwindigkeitsverteilung verändert sich hin zur Maxwell-Verteilung. Nun wird im Menü Experiment/Potential type der Cutoff für das Lennard Jones Potential auf 4Å gesetzt, d.h. für die Berechnung der Potentiale werden nur noch nächste Nachbarn herangezogen. Als durchschnittliche potentielle Energie pro Teilchen ergibt sich -1*10^-20J. Dies entspricht 6*(-e), da ein Teilchen potentielle Energie bezüglich aller 12 nächsten Nachbarn besitzt, und das Minimum des Lennard Jones Potentiales (pro Paar) bei (r₀/-e) liegt. Dabei muß man beachten, daß nur die Hälfte der potentiellen Energie eines Paares dem Teilchen zugeordnet werden darf (daher 6 und nicht 12).
Jetzt wird im Menü Experiment/Potential type das Lennard Jones Potential deaktiviert, und das quadratische Potential eingeschaltet. Es zeigt sich, daß die Anordung auch für dieses Potential stabil ist. Dies ist eine Bestätigung dafür, daß das quadratische Potential bei der Betrachtung von Kristallstrukturen als Näherung für das Lennard Jones Potential benutzt werden kann. Bei der potentiellen Energie pro Teilchen ergibt sich der Wert, der beim Lennard Jones Potential nach Änderung des Cutoff auftrat, da das quadratische Potential standardmäßig mit Cutoff arbeitet.

Anmerkungen: Gelegentlich kann beobachtet werden, daß Teilchen von einer auf die andere Seite wechseln. Dies sind Teilchen, die am Rande des Kastens liegen und aufgrund der periodischen Randbedingungen bei seinem Verlassen auf der anderen Seite erscheinen.

Zielsetzung: Die Datei "kingas.mds" enthält ein Beispiel zur kinetischen Gastheorie. Es benutzt den Molekulardynamik-Simulator (MDS), um den theoretischen Betrachtungen der Schule Gestalt zu verleihen und die für die kinetische Gastheorie typischen Spurbilder demonstrieren. Auch die Diffusion kann an diesem Modell gezeigt werden.

Aufbau: Das Modellgas besteht aus 64 Teilchen der Masse 6.636*10^-26kg und einem Radius von 2.5Å. Druck und Geschwindigkeit wurden so gewählt, daß die Anordung sich im Normzustand bei 1013hPa Druck und 273.15K Temperatur befindet. Ein Teilchen ist gelb markiert. Alle Teilchen außer diesem sind als unsichtbar markiert. Das Ensemble wird in Parallelprojektion betrachtet. Die Teilchen werden nach ihrer Größe skaliert.

Durchführung und Beobachtungen: Wie man in den Diagrammen sieht, hat sich in dem System, das ursprünglich ein einfach kubisches 3x3x3 Gitter war, in dem alle Teilchen die gleiche Geschwindigkeit hatten, nicht nur eine Maxwell-Verteilung bei der Geschwindigkeit, sondern auch beim Abstand eingestellt.
a) typisches Spurbild
Wenn man nun Display/Smiley windows/slime tracks anschaltet, und Display/invisibles auf hidden stellt, dann kann man am gelben Teilchen die charakteristische Spur eines Gasteilchens erkennen, das nur über elastische Stöße mit anderen Teilchen wechselwirkt.
b) Random Walk
Wenn man nun die Geschwindigkeit des gelben Teilchens auf 0 setzt und seine Masse stark erhöht (z.B. *50) kann man den "Random Walk" eines Rauchteilchens in einem Gas beobachten. Der Realitätsnähe wegen kann auch noch der Radius erhöht werden.
c) Diffusion
Jetzt wird die Simulation angehalten und Display/invisibles wieder auf shown gesetzt. Außerdem sollte Display/Smiley windows/slime tracks wieder deaktiviert werden. Dann wird durch Verschieben einer der beiden weißen Linien das Ensemble in zwei Hälften geteilt und ein Teilchen der sichtbaren Hälfte angeclickt. Mit Ungroup all muß nun die Gruppenzuordnung aufgelöst werden. Mit Group smileys on screen werden nun die sichtbaren Teilchen zur neuen Gruppe. Nun wird das Teilchen durch Click auf Color umgefärbt und die Farbe mit Group col=Smiley col auf die ganze Gruppe übertragen. Nach zurückverschieben der weißen Linie hat man nun zwei verschiedenfarbige Hälften, dies entspricht zwei verschiedenen Gasen. Nach Herabsetzen von Experiment/Parameters/Dt auf 3*10^-14s und Start der Simulation kann man sehr gut die Vermischung der beiden Gase beobachten.

typisches Spurbild für die kin. Gastheorie: Knicke in der Bahn weisen auf Zusammenstöße hin.

3) Beispiel zur Chaos-Theorie: chaos1.mds, chaos2.mds

Zielsetzung: Es soll die wohl bekannteste Aussage der Chaos-Theorie verdeutlicht werden; kleinste Ursachen können fatale Folgen haben. Diese Aussage ist für die Simulation physikalischer Vorgänge (z.B. Erforschung der Klimaveränderung, Hurricane-Erforschung) von großer Wichtigkeit.
Das in diesem Zusammenhang häufig zitierte Schmetterlingsbeispiel (Der Flügelschlag eines Schmetterlings kann einen Orkan in einem anderen Teil der Erde hervorrufen.) scheint für viele eine extreme Übertreibung darzustellen. Und wenn dies für einen Normalbürger auch nicht mit negativen Konsequenzen verbunden ist, so kann eine Vernachlässigung der "Tatsache Chaos" im Bereich der Industrie zu millionenschweren Verlusten führen, denn bereits simpelste algebraische Terme, wie die des quadratischen Potentials verhalten sich nach wenigen Iterationsschritten hochgradig chaotisch. Werden diese Effekte bei der Gestaltung und Auswertung eines industriellen Simulationsprogrammes nicht berücksichtigt, können Fehlkonstruktionen die Folge sein, die unter Umständen den Ruin für eine Firma bedeuten.

Aufbau: Der Deutlichkeit halber wurde eine einfache zweidimensionale Anordnung gewählt. Als Potential ist das quadratische eingestellt. Der Cutoff wurde auf 1m gesetzt, d.h. er ist abgeschaltet, da dies länger als die Diagonale des Kastens (maximaler Teilchenabstand) ist. Dadurch wird das Potential zwar physikalisch unsinnig, aber es ergeben sich sehr starke Kraftwirkungen.
Die Ensembles der Dateien "chaos1.mds" und "chaos2.mds" sind vollkommen identisch bis auf die z-Koordinate des rot markierten Teilchens. In "chaos2.mds wurde sie an der 18.Stelle um 1 erhöht (Anmerkung: MDS zeigt die Koordinaten nur auf 17 Stellen gerundet an).
Dies entspricht einer Abweichung von 0.0000000000000002 Prozent.

Durchführung und Beobachtungen: (Anmerkung für Lehrer: Wird dieser Versuch vor der Klasse vorgeführt könnte man die Schüler an dieser Stelle raten lassen, wie viele Rechenschritte es dauern wird, bis sich der Fehler äußert.) Wird nun die Simulation gestartet, so bleiben bei "chaos1.mds" die Teilchen in einer Ebene, doch bei "chaos2.mds" dauert es nur 230 Schritte bis die ersten Teilchen die Ebene verlassen.
Führt man den selben Versuch mit Lennard Jones Potential durch, so dauert es 2200 Schritte, obwohl dieses Potential r in einer viel höheren Potenz enthält. Dies ist leicht dadurch erklärt, daß das quadratische Potential ohne Cutoff sehr extreme Werte erzeugt, während die des Lennard Jones Potentials in einem kleineren Intervall liegen, da es bei großen r im Gegensatz zum quadratischen Potential gegen 0 und nicht gegen Unendlich geht. Man sieht also, daß komplizierte Funktionen nicht zwangsläufig chaotischer sind als einfache.

Ensemble nach 2500 Schritten (Lennard Jones): links ohne Fehler, rechts mit Fehler

4) Kepler-Gesetze: kepler.mds

Zielsetzung: Es sollen die Planetenbewegungen in einem "handlichen" Modell gezeigt und der Nachweis für die nicht auf Anhieb sichtbare Tatsache erbracht werden, daß die Keplerschen Gesetze vollständig im Gravitationsgesetz von Newton enthalten sind.

Aufbau: Der Aufbau besteht aus einem Zentralgestirn und zwei darum kreisenden Planeten. Die Masse des Sterns entspricht der unserer Sonne, die des roten Planeten unserer Erde und die Masse des magentafarbenen Planeten der Venusmasse.
Da die Bahnen der Planeten in unserem Sonnensystem zu sehr kreisförmig sind, wurden fiktive Ellipsenbahnen gewählt (im Folgenden werden jedoch trotzdem die Namen Erde und Venus für die Planeten benutzt). Das Verhältnis der Radien der beiden Planeten entspricht der Realität, aus Darstellungsgründen wurde der Sonnenradius jedoch kleiner gewählt.

Durchführung und Beobachtungen:
a) Das erste Kepler-Gesetz sagt aus, daß die Bahnen der Planeten elliptisch sind, und die Sonne in einem der Brennpunkte liegt.
Wenn man Display/Smiley windows/slime tracks aktiviert und die Simulation eine Weile laufen läßt, so kann man diese Aussage anschaulich bestätigen.
Um den mathematischen Nachweis führen zu können, muß man zuerst die maximalen und minimalen x- und y-Werte der beiden Planetenbahnen bestimmen. Die Hälfte der Differenz y_max-y_min ergibt dann die Länge der kurzen Halbachse b (b_Erde=1.03*10¹¹m, b_Venus=5.65*10¹⁰m) und aus den x-Werten folgt die Länge der langen Halbachse a (a_Erde=1.10*10¹¹m, a_Venus=6.35*10¹⁰m). Aus dem kürzesten Abstand d_k zur Sonne errechnet sich die lineare Exzentrizität mit e=a-d_k (e_Erde=3.89*10¹⁰m, e_Venus=2.92*10¹⁰m). Die Bedingung e²=a²-b² ist beide Male sehr gut erfüllt (Abweichung von e jeweils kleiner als 1%).

b) Dem zweiten Kepler-Gesetz zufolge überstreicht der Vektor von der Sonne zum Planeten in gleichen Zeiten immer gleiche Flächen. Dies soll exemplarisch an je zwei Flächen gezeigt werden. Hierzu denke man sich eine vertikale Linie durch den Mittelpunkt der Sonne. Der Teil der Ellipsenfläche links davon sei F₁ und die Fläche rechts davon sei F₂.
Aus den oben ermittelten Daten kann man F₂=b/a*[a²*p/2-e* sqrt(a²-e²)-a²*arcsin(e/a)] und F₁=abp-F₂ berechnen (F_2Erde=9.95*10²¹m², F_2Venus=2.46*10²¹m², F_1Erde=2.56*10²²m², F_2Venus=8.81*10²¹m²).
Um die Zeiten zu bestimmen, in denen der jeweilige Entfernungsvektor die Flächen überstreicht, wird der Schrittzähler auf 0 gesetzt (Experiment/reset step counter), sobald der betrachtete Planet an der Grenze zwischen den beiden Flächen ist. Dann wird die Simulation gestartet und angehalten, sobald der Planet die entsprechende Fläche umrundet hat. Die Messung ergibt t_F1Erde=72000Schritte und t_F2Erde=28000Schritte, sowie t_F1Venus=34000Schritte und t_F2Venus=9700Schritte. Beide Male gilt t_F1/t_F2=F₁/F₂ mit hinreichender Genauigkeit.

c) Das dritte Kepler-Gesetz sagt aus, daß sich die dritten Potenzen der langen Halbachsen zueinander so verhalten, wie die Quadrate der Umlaufzeiten.
Um die Umlaufzeiten zu bestimmen, wird der Schrittzähler auf 0 gesetzt, und dann die Simulation laufen gelassen, bis der betrachtete Planet nach 10 Umläufen (der größeren Genauigkeit wegen) wieder am Ausgangspunkt angekommen ist. So ergibt sich für die Umlaufzeit der Erde (T_Erde=1.00*10⁵Schr.) und der Venus (T_Venus=4.40*10⁴Schr.). Die Abweichung T²_Erde/T²_Venus von a³_Erde/a³_Venus ist geringer als 1%, womit das Gesetz als erfüllt angesehen werden kann.

Die Planetenbahnen sind Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt.

a große Halbachse
b kleine Halbachse
d_k minimaler Abstand Planet - Sonne
e lineare Exzentrizität
S Sonne

Alle Rechte am Programm Molekular-Dynamik-Simulator, sowie an dieser Dokumentation gehören Matthias Benkmann.

Feedback bitte an Matthias Benkmann (m.s.b (a) gmx.net)

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